Question

已知g（x）是對數函數，且它的圖象恒過點（e，1）；f（x）是二次函數，且不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），且f（0）=3．
（1）求g（x）的解析式
（2）求f（x）的解析式；
（3）寫出y=f（x）的單調遞減區間（不用寫過程）．并用減函數的定義給予證明．（要寫出證明過程）

Answer 1

解：（1）設g（x）=log_ax，（a＞0，a≠1的常數）．
∵函數g（x）恒過點（e，1），∴1=log_ae，∴a¹=e，即a=e．
∴g（x）=lnx（x＞0）．
（2）∵f（x）是二次函數，且不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），
∴可設f（x）=a（x+1）（x-3）且a＜0，
又∵f（0）=3，∴-3a=3，解得a=-1．
∴y=f（x）=-x²+2x+3．
（3）單調減區間為（1，+∞）．
證明：設1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（
=-（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂=1-x₁+1-x₂＜0，
∴（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數f（x）單調減區間為（1，+∞）．
分析：（1）利用對數的定義、對數與指數式的互化即可得出；
（2）利用“三個二次”的關系即可得出；
（3）利用單調遞減函數的定義即可證明．
點評：熟練掌握對數的定義、對數與指數式的互化、“三個二次”的關系、單調函數的定義是解題的關鍵．