Question

已知等差數列{a_n}中，a₃=5，a₅-2a₂=3，又數列{b_n}中，b₁=3且b_n+1=3b_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別是S_n，T_n，且C_n=

Sn(2Tn+3)

n

．求數列{c_n}的前n項和M_n．

Answer 1

分析：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，根據a₃=5，且a₅-2a₂=3，求出基本量，從而可得數列{a_n}的通項公式；利用等比數列的通項公式可得{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）先由（I）求得S_n，T_n，從而可得C_n，利用錯位相減法可求得M_n．

解答：解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵a₃=5，且a₅-2a₂=3，
∴a₁+2d=5，-a₁+2d=3，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
∵b_n+1=3b_n，∴

bn+1

bn

=3，
∴數列{b_n}是以b₁=3為首項，公比為3的等比數列．
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ；
（II）∵由（I）知a_n=2n-1，∴Sn=n²，
又∵bn=3n，∴Tn=

3(3n-1)

3-1

=

3(3n-1)

2

，
∴C_n=

Sn(2Tn+3)

n

=

n2[2• 3(3n-1) 2 +3]

n

=n•3ⁿ⁺¹，
∴數列{c_n}的前n項和M_n=3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，①
①×3得：3M_n=3³+2•3⁴+3•3⁵+…+（n-1）•3ⁿ⁺¹+n•3^（n+2），②
∴①-②得-2M_n=3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹-n•3ⁿ⁺²=

9(3n-1)

3-1

-n•3ⁿ⁺²，
∴M_n=

9

4

+

(2n-1)3n+2

4

．

點評：本題考查等差數列、等比數列的通項公式求和公式，考查數列求和，錯位相減法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．