Question

已知函數f(x)＝k[(log_ax)²＋(log_xa)²]－(log_ax)³－(log_xa)³，(其中a＞1)，g(x)＝x²－2bx＋4，設t＝log_ax＋log_xa．

(Ⅰ)當x∈(1，a)∪(a，＋∞)時，將f(x)表示成t的函數h(t)，并探究函數h(t)是否有極值；

(Ⅱ)當k＝4時，若對x₁∈(1，＋∞)，x₂∈[1，2]，使f(x₁)≤g(x₂)，試求實數b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵， 　　， 　　∴ 　　∴ 　　設是的兩根，則，∴在定義域內至多有一解， 　　欲使在定義域內有極值，只需在內有解，且的值在根的左右兩側異號，∴得 　　綜上：當時在定義域內有且僅有一個極值，當時在定義域內無極值 　　(Ⅱ)∵對任意的，存在，使等價于 　　時，f(x)max 　　又k＝4時，h(t)＝－t3＋4t2＋3t－8(t， 　　 　　∴h(t)max＝h(3)＝10， 　　 　　∴ 　　∴