Question

在正方體AC₁中，E是CD的中點，連接AE并延長與BC的延長線交于點F，連接BE并延長交AD的延長線于點G，連接FG．
求證：直線FG?平面ABCD且直線FG∥直線A₁B₁．

Answer 1

分析：分別說明點F與點G在平面ABCD內，結合公理一直線上有兩點在平面內則這條直線就在這個平面內，易證四邊形CFGD是平行四邊形，結合棱柱的結構特征，即可求出直線FG∥直線A₁B₁．

解答：證明：由已知得E是CD的中點，
在正方體中，有A∈平面ABCD，
E∈平面ABCD，
所以AE?平面ABCD．
又AE∩BC=F，所以F∈AE，
從而F∈平面ABCD．
同理，G∈平面ABCD，
所以FG?平面ABCD．
因為EC

∥

.

AB，故在Rt△FBA中，CF=BC，
同理，DG=AD．又在正方形ABCD中，BC

∥

.

AD，
所以CF

∥

.

DG．
所以四邊形CFGD是平行四邊形．
所以FG∥CD．又CD∥AB，AB∥A₁B₁，
所以直線FG∥直線A₁B₁．

點評：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系，以及棱柱的結構特征，屬于基礎題．