Question

已知定義在R上函數f（x）是偶函數，對x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），當f（-3）=-2 時，f （2007）的值為（　�。�

A．2

B．-2

C．4

D．-4

Answer 1

分析：由題意：f（2+x）=-f（2-x）”可得f（x）=-f（4-x），由函數f（x）是偶函數可得f（x）=f（-x），結合兩者得f（x-4）=-f（x），它是以8為周期的周期函數，
f（2007）=f（-1）=f（1），從而解決問題．

解答：解：∵f（2+x）=-f（2-x），
令t=2+x，則2-x=4-t
∴f（x）=-f（4-x），
∵由函數f（x）是偶函數
∴f（x）=f（-x），
∴結合兩者得f（x-4）=-f（x），f（x-8）=f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x），
它是周期函數，且周期為8，
∴f（2007）=f（250×8+7）=f（7）=f（-1）=f（1）
在f（2+x）=-f（2-x）中，令x=1，得f（3）=-f（1）=-2，
∴f（1）=2，即f（2007）=2
故選A．

點評：本題考查抽象函數的周期性、函數值求解，抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．