Question

【題目】已知曲線C1的參數方程為 ，當t=﹣1時，對應曲線C1上一點A，且點A關于原點的對稱點為B．以原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為 ．
（1）求A，B兩點的極坐標；
（2）設P為曲線C2上的動點，求|PA|2+|PB|2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：經t=﹣1代入C1得x=3，y=﹣ ，

則A（3，﹣ ），B（﹣3， ），它們的極坐標為A（2 ， ），B（2 ， ）

（2）解：曲線C2的極坐標方程為 ．

平方得ρ2= = ，

即3ρ2+ρ2sin2θ=12，

即3x2+3y2+y2=12，

即3x2+4y2=12，

即 =1．

設P（2cosθ， sinθ），

則|PA|2+|PB|2=（2cosθ﹣3）2+（ sinθ+ ）2+（2cosθ+3）2+（ sinθ﹣ ）2

=2（4cos2θ+3sin2θ+12）=2（15+cos2θ），

∵cos2θ≤1，∴PA|2+|PB|2=2（15+cos2θ）≤32，

即|PA|2+|PB|2的最大值是32．

【解析】（1）將t=﹣1代入得A，B的坐標，即可得到結論．（2）求出曲線C2上的直角坐標方程，設P的坐標，結合兩點間的距離公式進行求解即可．