Question

（2013•青島二模）已知函數f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+ln(a+1)（其中a為常數）
（Ⅰ）若f（x）在區間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在一條與y軸垂直的直線和函數Γ（x）=f（x）-（a²-1）x+lnx的圖象相切，且切點的橫坐標x₀滿足x₀＞2，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）記函數y=f（x）的極大值點為m，極小值點為n，若2m+5n≥

3 sinx

cosx+2

對于x∈[0，π]恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數求導，由函數f（x）在區間（-1，1）不單調，可知f‘（x）在（-1，1）上存在零點，結合函數的零點定理可求a的范圍
（Ⅱ）先對已知函數求導可得，Γ′(x)=x2-2ax+

1

x

，由題意設切點的橫坐標x₀，從而可得x02-2ax0+

1

x0

=0，分離可得a=

1

2

(x0+

1

x02

)，結合函數y=x+

1

x2

的單調性可求函數的取值范圍，進而可求a的范圍
（Ⅲ）多函數求導可得f'（x）=x²-2ax+a²-1，然后研究函數的單調性，進而可確定極大值及極小值，由2m+5n≥

3 sinx

cosx+2

對于x∈[0，π]恒成立可建立關于a的不等式，可求

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+ln(a+1)，
∴f'（x）=x²-2ax+a²-1
因為函數f（x）在區間（-1，1）不單調，所以函數f'（x）在（-1，1）上存在零點．
而f'（x）=0的兩根為a-1，a+1，區間長為2，
∴f'（x）在區間（-1，1）上不可能有2個零點．
所以f'（-1）f'（1）＜0，…（2分）
即a²（a+2）（a-2）＜0，又由題意可知：a＞-1
∴a∈（-1，0）∪（0，2）．…（3分）
（Ⅱ）Γ(x)=f(x)-(a2-1)x+lnx=

1

3

x3-ax2+lnx+ln(a+1)，�！�(x)=x2-2ax+

1

x

，
∵存在一條與y軸垂直的直線和函數Γ（x）=f（x）-（a²-1）x+lnx的圖象相切，且切點的橫坐標x₀，
∴�！�(x0)=x02-2ax0+

1

x0

=0⇒a=

1

2

(x0+

1

x02

)，（x₀＞2）…（5分）
令h(x)=

1

2

(x+

1

x2

)（x＞2），則h′(x)=

1

2

(1-

2

x3

)
當x＞2時，h′(x)=

1

2

(1-

2

x3

)＞0，
∴h(x)=

1

2

(x+

1

x2

)在（2，+∞）上為增函數，
從而h(x0)=

1

2

(x0+

1

x02

)＞h(2)=

9

8

，又由題意可知：a＞-1
∴a＞

9

8

…（8分）
（Ⅲ）f'（x）=x²-2ax+a²-1，
由f'（x）=0得：x=a-1，或x=a+1，
當x變化時，f（x），f'（x）變化如下表

x	（-∞，a-1）	a-1	（a-1，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

由表可知：f（x）的極大值點m=a-1，極小值點n=a+1
∴2m+5n=7a+3…（10分）
令h(x)=

3 sinx

cosx+2

，x∈[0，π]，則h′(x)=

3 (2cosx+1)

(cosx+2)2

，
由h′(x)=0⇒x=

2π

3

，
當x∈[0，

2π

3

)時，h'（x）＞0，當x∈(

2π

3

，π]時，h'（x）＜0，
∴當x=

2π

3

時，h（x）取最大值為h(

2π

3

)=1，…（12分）
為滿足題意，必須2m+5n≥h（x）_max，所以7a+3≥1，
又由題意可知：a＞-1，
∴a≥-

2

7

…（13分）

點評：本題主要考查了函數的導數在求解函數的單調性、函數的極值中的應用，函數的恒成立與函數的最值的相互轉化關系的應用，屬于函數知識的綜合應用