Question

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，并在區間（-∞，0）內單調遞增，f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）求a的取值范圍，并在該范圍內求函數y=（

1

2

） a2-3a+1的單調遞減區間．

Answer 1

分析：已知f（x）是定義在R上的偶函數，并在區間（-∞，0）內單調遞增，證明f（x）在區間（0，+∞）內單調遞減，再根據f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），得出一個不等式，轉化為解不等式的問題；

解答：解：設0＜x₁＜x₂，則-x₂＜-x₁＜0，
∵f（x）在區間（-∞，0）內單調遞增；
∴f（-x₂）＜f（-x₁），∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（-x₂）=f（x₂），f（-x₁）=f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在區間（0，+∞）內單調遞減，
又2a²+a+1=2（a+

1

4

）²+

7

8

＞0，3a²-2a+1=3（a-

1

3

）²+

2

3

＞0，
由f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）得，2a²+a+1＞3a²-2a+1，解之，得0＜a＜3，
又a²-3a+1=（a-

3

2

）²-

5

4

，
∴函數y=（

1

2

）^a2-3a+1的單調減區間是[

3

2

，+∞]，結合0＜a＜3，
得函數y=（

1

2

）^a2-3a+1的單調減區間是[

3

2

，3）．

點評：本題主要考查了奇函數的性質的簡單應用及函數的單調性及奇偶性在求解不等式中的綜合應用，本題計算量有些大，注意計算時要認真，此題是一道中檔題；