Question

【題目】已知函數.

（1）當，且的最大值為，求的值；

（2）方程在上的兩解分別為、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式為，令，可得，再令，可將問題轉化為二次函數在上的最大值為，利用二次函數的基本性質可求出實數的值；

（2）設，由題意求得，，，由兩角差的余弦公式可求出的值，求出的取值范圍，進而利用二倍角余弦公式可求出的值.

（1），

當時，令，則，則.

，

令，令，該二次函數圖象開口向上，對稱軸為直線.

①當時，二次函數在區間上單調遞減，

則，不合乎題意；

②當時，二次函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則，解得或（舍）；

③當時，二次函數在區間上單調遞增，

則，解得（舍）.

綜上所述，；

（2）設，，則，

由于正弦函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

由，得，

因為方程在上的兩解分別為、，

則，必有，，

所以，，同理，

，

由于，且，，則，

由，可得.