Question

已知函數f（x）=Asin（φx+φ） （A＞0，φ＞0，|φ|＜）的圖象與y軸的交點為（0，），它在y軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，3）、（x₀+2π，-3）
（I）求函數y=f（x）的解析式；
（II）求這個函數的對稱中心的坐標和對稱軸方程；
（III）求f（x）在x∈[0，π]時的值域．

Answer 1

解：（I） 由題意可得A=3，由在y軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3），
可得=x₀+2π-x₀=2π，∴T=4π，從而ω=．
又圖象與y軸交于點（0，），∴=3sinφ，故有 sinφ=．
由于|φ|＜），∴φ=，故 函數的解析式為f（x）=3sin（x+）．
（II）因為由x+=kπ，k∈Z，解得x=-+2kπ，（k∈Z），所以函數的對稱中心：（-+2kπ，0）（k∈Z）．
因為由x+=kπ+，k∈Z，解得x=2kπ+，故函數的對稱軸方程為 x=2kπ+，k∈Z．
（III）∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，故當 x+=時，函數取得最小值為3×=；
當 x+= 時，函數取得最大值為 3．
綜上可得，函數的值域為[，3]．
分析：（I）通過函數的最大值點求出A，最大值與最小值的橫坐標求出函數的周期，然后求出ω，利用函數經過（0，），以及φ的范圍，求出φ，然后得到函數y=f（x）的解析式．
（II）因為由x+=kπ，k∈Z，解得x的值，可得函數的對稱中心的坐標．由x+=kπ+，k∈Z，解得x的值，可得函數的對稱軸方程．
（III）由 x∈[0，π]，可得 x+∈[，]，可得 sin（x+）的最大值與最小值，由此求得函數f（x）=3sin（x+）的值域．
點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，注意A，ω，φ的求法，函數的單調增區間的求法，考查計算能力，注意平移時x的系數，避免錯誤．