Question

如圖所示，ADB為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變．

(1)建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；

(2)過D點的直線與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設，求的取值范圍．

Answer 1

解：(1)分別以AB、OD所在直線為軸、軸，O為原點，建立平面直角坐標系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2．

    ∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓．

設其長半軸為，短半軸為b，半焦距為c，則2，

∴．，，∴曲線C的方程為．

(2)當直線的斜率不存在時，可解得．

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

將點M(，)、N(，)代入曲線方程,

得(1+5²)²+20+15=0．

    △=(20)²―4×15(1+5²)>0，得²>．

    ，

分析可知面，即，

    

  由式①②可得，∵，

  ∴即.

∵在D與N之間，∴DM<DN，∴，即得

  綜上所述，實數的取值范圍為