Question

20．設A、B分別為橢圓（a,b＞0）的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設P為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內。

（此題不要求畫圖）

Answer 1

20．本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。

解：（Ⅰ）依題意得解得從而b=。

故橢圓方程為。

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（-2，0）B（2，0）。設M（

∵M點在橢圓上，∴                 ①

 又M點異于項點A，B，∴

由P、A、M三點共線可得P（4，），

從而

∴().        ②

將①式代入②式簡化得  

∵2-x₀＞0，∴＞0，于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內。

解法2：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設則直線AP的方程為直線BP的方程為

∵點M、N分別在直線AP、BP上，

∴從而         ③

聯立消去y得（27+）

∵是方程的兩根，∴（-2）·    ①

又

于是由③，④式代入⑤式化簡可得

∵N點在橢圓上，且異于頂點A、B，∴

又∵∴＞0，從而＜0，故∠MBN為鈍角，即點B在以MN為直徑的圓內。

解法3：由（Ⅰ）得則又MN的中點Q的坐標為（