Question

若把滿足二元二次不等式（組）的平面區域叫做二次平面域.

    （1）畫出9x²-16y²+144≤0對應的二次平面域；

    （2）求x²+y²的最小值；

    （3）求的取值范圍.

   

Answer 1

思路分析：本題可以使用線性規劃的基本思路，像二元一次不等式所示的區域一樣，我們仍然可以用“線定界，點定域”的方法來確定9x²-16y²+144≤0所表示的平面區域.

    解：(1)將原點坐標代入9x²-16y²+144，其值為144＞0，因此9x²-16y²+144≤0表示的平面區域如圖所示的陰影部分，即雙曲線-=1的含有焦點的區域.

     (2)設P(x，y)為該區域內任意一點，由上圖可知，當P與雙曲線的頂點(0，±4)重合時，|OP|取得最小值4.所以，x²+y²=|OP|²=16.

     (3)取Q(2，0)，則直線PQ的斜率為k=，其直線方程為y=k(x-2)，代入9x²-16y²+144=0得(9-16k²)x²+64k²x-64k²+144=0，由Δ=0得k=±，由圖可知k≥或k≤-.

    故所求的取值范圍是(-∞，- ］∪［，+∞).