Question

【題目】已知函數f（x）=ax2ex+blnx，且在P（1，f（1））處的切線方程為（3e﹣1）x﹣y+1﹣2e=0，g（x）=（ ﹣1）ln（x﹣2）+ +1．
（1）求a，b的值；
（2）證明：f（x）的最小值與g（x）的最大值相等．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x=1時，y=e，即f（1）=ae=e，解得a=1，

∵f′（x）=ex（x2+2x）+ ，

∴f′（1）=e（1+2）+b=3e﹣1，解得b=﹣1，

（2）證明：由（1）得f′（x）=ex（x2+2x）﹣ ，

令h（x）=ex（x2+2x）﹣ ，

∴h′（x）=ex（x2+4x+2）+ ，

∴h（x）為增函數，

∵f（ ）= ﹣4＜ ﹣4＜2﹣4＜0，f（1）=3e﹣1＞0，

∴存在唯一的x1∈（ ，1），使得f′（x）=0，

即 （x12+2x1）﹣ =0，

亦即2lnx1+ln（x1+2）+x1=0，

且f（x）在（0，x1）為減函數，在（x1，+∞）為增函數，

∴f（x）min=f（x1）= x12+lnx1= ﹣lnx1= ﹣lnx1，

∵g′（x）=﹣ ln（x﹣2）+（ ﹣1） + = ，

令φ（x）=﹣2ln（x﹣2）﹣x+2﹣lnx，則φ（x）在（2，+∞）上為減函數，

∵φ（3）=﹣3+2﹣ln3=﹣1﹣ln3＜0，φ（2+ ）=4﹣（2+ ）+2﹣ln（2+ ）＞4﹣（2+1）+2﹣1＞0，

∴存在唯一的x2∈（2+ ，3），使得φ（x2）=0，

即φ（x2）=﹣2ln（x2﹣2）﹣x2+2﹣lnx2=0

亦即lnx2+2ln（x2+2）+x2﹣2=0，

且g（x）在（2，x2）為增函數，在（x2，+∞）為減函數，

∴g（x）max=g（x2）=（ ﹣1）ln（x2﹣2）+ +1

=（ ﹣1）ln（x2﹣2）+ +1，

= [（2﹣x2）ln（x2﹣2）﹣2ln（x2﹣2）﹣x2+1]+1

= [﹣x2ln（x2﹣2）﹣x2+1]+1

= ﹣ln（x2﹣2），

∵2lnx1+ln（x1+2）+x1=2ln[（x1+2）﹣2]+ln（x1+2）+（x1+2）﹣2=0

∴x1+2=x2，

∴g（x）max= ﹣ln（x2﹣2）= ﹣lnx1=f（x）min；

問題得以證明．

【解析】（1）求導，由題意可得f'（1）=1，代入即可求得a，b的值；（2）分別利用導數求出函數f（x），g（x）的最值，再比較判斷，即可證明．