Question

 設，函數.

（Ⅰ）若，試求函數的導函數的極小值；

（Ⅱ）若對任意的，存在，使得當時，都有，求實數的取值范圍.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （本小題滿分１5分）

解：（Ⅰ）當時，函數，

則的導數，的導數. ………………………2分

顯然，當時，；當時，，

從而在內遞減，在內遞增. …………………………………………4分

故導數的極小值為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）解法1：對任意的，記函數，

根據題意，存在，使得當時，.

易得的導數，的導數…………9分

①若，因在上遞增，故當時，>≥0，

于是在上遞增，則當時，>，從而在上遞增，故當時，，與已知矛盾 ……………………………………11分

②若，注意到在上連續且遞增，故存在，使得當

，從而在上遞減，于是當時，，

因此在上遞減，故當時，，滿足已知條件……13分

綜上所述，對任意的，都有，即，亦即，

再由的任意性，得，經檢驗不滿足條件，所以…………………………15分

解法2：由題意知，對任意的，存在，使得當時，都有成立，即成立，則存在，使得當時，成立，

又，則存在，使得當時，為減函數，即當時使成立，

又，故存在，使得當時為減函數，

則當時成立，即，得.