Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，則實數a=________；又設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n），（n∈N^*），則所有滿足c_i•c_i+1＜0的正整數i的個數為________．

Answer 1

4    3
分析：由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，知△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．再結合題設條件能夠求出a的值．結合題設條件由數列的性質知 ，由題設可得（n∈N^*）=，由此入手能夠求出所有滿足c_i•c_i+1＜0的正整數i的個數．
解答：∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素
∴△=a²-4a=0，
解得a=0或a=4．
當a=0時函數f（x）=x²在（0，+∞）遞增，不滿足條件②
當a=4時函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，滿足條件②
綜上得a=4．
由a=4知S_n=n²-4n+4=（n-2）²．
當n=1時，a₁=S₁=1，
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5，
∴
由題設可得（n∈N^*）=，
∵c₁=-3＜0，c₂=1+4=5＞0，c₃=1-=-3＜0，
∴i=1，i=2都滿足c_i•c_i+1＜0
∵當n≥3時，
=＞0，
即當n≥3時，數列{c_n}遞增，
∵＜0，由 ?n≥5，
可知i=4滿足c_i•c_i+1＜0
∴所有滿足c_i•c_i+1＜0的正整數i的個數為3．
故答案為：4，3．
點評：本題考查數列與函數的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易出錯．解題時要認真審題，注意數列遞推思想的靈活運用．