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已知正數x,y,z滿足5x+4y+3z=10.

(1)求證:++≥5.

(2)求+的最小值.

 

(1)見解析 (2) 18

【解析】(1)根據柯西不等式,得

[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)2,

當且僅當==,

即x=,y=,z=時取等號.

因為5x+4y+3z=10,

所以++≥=5.

(2)根據平均值不等式,得

+≥2=2·,

當且僅當x2=y2+z2時,等號成立.

根據柯西不等式,得

(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,

即x2+y2+z2≥2,當且僅當==時,

等號成立.

綜上,+≥2·32=18.

當且僅當x=1,y=,z=時,等號成立.

所以+的最小值為18.

 

練習冊系列答案
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(A)3 (B)2 (C) (D)

 

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