Question

設函數，其中.
（1）若，求在的最小值；
（2）如果在定義域內既有極大值又有極小值，求實數的取值范圍；
（3）是否存在最小的正整數，使得當時，不等式恒成立.

Answer 1

（1）； （2）；(3) 存在最小的正整數，使得當時，不等式恒成立.

試題分析：(1) 由題意易知，()得（舍去）
所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，則；
（2）由在定義域內既有極大值又有極小值可轉化為的導函數在有兩個不等實根，即在有兩個不等實根，可求出的范圍.
(3) 由不等式，令即可構造函數，再利用導數證明在即可.
試題解析：（1）由題意知，的定義域為，當時，由，得（舍去），當時，，當時，，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，
∴．
（2）由題意在有兩個不等實根，即在有兩個不等實根，設，又對稱軸，則，解得．
（3）對于函數，令函數，則，，所以函數在上單調遞增，又時，恒有，即恒成立.取，則有恒成立.顯然，存在最小的正整數，使得當時，不等式恒成立.