Question

（本題滿分12分）

雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）e==；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設，，

由勾股定理可得：            

得：，，

由倍角公式，解得,則離心率．

（Ⅱ）過直線方程為,與雙曲線方程聯立

將，代入，

化簡有 

將數值代入，有,解得 

故所求的雙曲線方程為．

解法二:解:（Ⅰ）設雙曲線方程為(a>0,b>0)，右焦點為F(c,0)(c>0)，則c²=a²+b²

不妨設l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0

則         ，

因為²+²=²，且=2-，

所以²+²=(2-)²，

于是得tan∠AOB=。

又與同向，故∠AOF=∠AOB，

所以       

解得        tan∠AOF=，或tan∠AOF=-2（舍去）。

因此       

所以雙曲線的離心率e==

（Ⅱ）由a=2b知，雙曲線的方程可化為

x²-4y²=4b²                               ①

由l₁的斜率為，c=b知，直線AB的方程為

y=-2(x-b)                             ②

將②代入①并化簡，得

15x²-32bx+84b²=0

設AB與雙曲線的兩交點的坐標分別為(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，則

x₁+x₂=，x₁·x₂=               ③

AB被雙曲線所截得的線段長

l= ④

將③代入④，并化簡得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6

所以雙曲線的方程為

考點：本題主要考查雙曲線的幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，兩角和的正切公式。

點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往要利用韋達定理。弦長問題，往往利用弦長公式，通過整體代換，簡化解題過程。