Question

【題目】如圖，直三棱柱中， ，，是的中點，△是等腰三角形，為的中點，為上一點．

（1）若∥平面，求；

（2）平面將三棱柱分成兩個部分，求較小部分與較大部分的體積之比．

Answer 1

【答案】（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1） 取中點為，連結，根據條件∥平面,又有平面平面,這樣根據線面平行的性質定理，可得,這樣根據平行線的比例可得的值；

（2）如圖，通過割補法將幾何體補成三棱柱,那么所求幾何體的體積就是,然后再用大的三棱柱的體積減小部分的體積，就是剩下的幾何體的體積，再求其比值.

試題解析：取中點為，連結，

∵分別為中點

∴∥∥，∴四點共面，

且平面平面

又平面，且∥平面

∴∥

∵為的中點，

∴是的中點，

∴．

（2）因為三棱柱為直三棱柱，平面，

又，則平面

設，又三角形是等腰三角形，所以.

如圖，將幾何體補成三棱柱

∴幾何體的體積為：

又直三棱柱體積為：

故剩余的幾何體棱臺的體積為：

∴較小部分的體積與較大部分體積之比為：．