Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2ax+3．
（1）若f（x）在（﹣∞， ]是減函數，在[ ，+∞）是增函數，求函數f（x）在區間[﹣1，5]的最大值和最小值．
（2）求實數a的取值范圍，使f（x）在區間[﹣5，5]上是單調函數，并指出相應的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在（﹣∞， ]是減函數，在[ ，+∞）是增函數，

故函數圖象開口朝上，且以直線x= 為對稱軸，

即﹣a= ，a=﹣ ，

∴f（x）=x2﹣x+3，

在區間[﹣1，5]上，

當x= 時，函數取最小值 ，

當x=5時，函數取最大值23．

（2）解：函數f（x）=x2+2ax+3的圖象開口朝上，且以直線x=﹣a為對稱軸，

若f（x）在區間[﹣5，5]上是單調函數，

則﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，

即a≤﹣5，或a≥5，

當a≥5時，在[﹣5，5]上是增函數，

當a≤﹣5時，在[﹣5，5]上是減函數

【解析】（1）若f（x）在（﹣∞， ]是減函數，在[ ，+∞）是增函數，則函數圖象開口朝上，且以直線x= 為對稱軸，求出a值，可得函數f（x）在區間[﹣1，5]的最大值和最小值．（2）函數f（x）=x2+2ax+3的圖象開口朝上，且以直線x=﹣a為對稱軸，若f（x）在區間[﹣5，5]上是單調函數，則﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，進而得到答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)．