Question

（2012•商丘三模）已知函數f（x）=

3x

a

-2x²+lnx．
（Ⅰ）若a=1，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[1，2]上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先對函數f（x）進行求導，令導函數等于0求出x的值，再根據導函數的正負判斷函數的單調性，進而確定極值．
（II）已知函數f（x）在區間[1，2]上為單調遞增函數，即f′（x）≥0在區間[1，2]上恒成立，然后用分離參數求最值即可．

解答：解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=3x-2x²+lnx，定義域為（0，+∞）．…（1分）
f′(x)=

1

x

-4x+3=

-4x2+3x+1

x

=

-(4x+1)(x-1)

x

（x＞0），…（3分）
當x∈（0，1），f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；．
當x∈（1，+∞），f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，…（5分）
∴f（x）有極大值f（1）=1，無極小值．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

，…（7分）
∵函數f（x）在區間[1，2]上為單調遞增函數，
∴x∈[1，2]時，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0恒成立．
即 

3

a

≥4x-

1

x

在[1，2]恒成立，…（9分）
令h(x)=4x-

1

x

，因函數h（x）在[1，2]上單調遞增，
所以

3

a

≥h(2)，即

3

a

≥

15

2

，…（11分）
解得0＜a≤

2

5

，即a的取值范圍是(0，

2

5

]．…（12分）

點評：本題考查利用導數研究函數的極值和已知函數單調性求參數的范圍，此類問題一般用導數解決，綜合性較強．