Question

設函數f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，數列{a_n}滿足a1=1，an=f(

1

an-1

)，n∈N*且n≥2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）對n∈N^*，設Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，若Sn≥

3t

4n

恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由an=f(

1

an-1

)推出遞推關系式a_n-a _n-1=

2

3

，n≥2，從而有數列{a_n}為等差數列，最后寫出通項公式．
（II）由（I）得a_n=

2n+1

3

．a_n+1=

2n+3

3

．得出a_na_n+1=

(2n+1)(2n+3)

9

，從而有

1

anan+1

=

9

(2n+1)(2n+3)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用拆項法求和Sn，再結合題設利用函數的最小值，從而求得實數t的取值范圍．

解答：解：（I）由an=f(

1

an-1

)可得a_n-a _n-1=

2

3

，n≥2，
故數列{a_n}為等差數列，
又a₁=1，
它的通項公式a_n=

2n+1

3

．
（II）Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，
由（I）得a_n=

2n+1

3

．a_n+1=

2n+3

3

．
∴a_na_n+1=

(2n+1)(2n+3)

9

，
∴

1

anan+1

=

9

(2n+1)(2n+3)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴Sn=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

3n

2n+3

，
Sn≥

3t

4n

?

3n

2n+3

≥

3t

4n

?t≤

4n2

2n+3

，令g（n）=

4n2

2n+3

，
g（n）=

4n2-9+9

2n+3

=2n+3+

9

2n+3

-6，由于2n+3≥5，故g（n）的最小值為

4

5

，
∴t≤

4

5

，
∴實數t的取值范圍（-∞，

4

5

]．

點評：本題考查數列的求和、數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意遞推公式的靈活運用．