Question

已知單位圓O上的兩點A，B及單位圓所在平面上的一點P，滿足

OP

=m

OA

+

OB

（m為常數）．
（1）如圖所示，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值；
（2）若m=2，求|

OP

|的取值范圍；
（3）若

OA

•

OB

=-

1

3

，線段AB與OP交于點D，試求當△OPB為直角三角形時

OD

•

OA

的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的減法運算，結合條件，即可得到結論；
（2）利用向量的加法運算，可得結論；
（3）分類討論，利用向量的數量積運算，可得結論．

解答：解：（1）由題意，

OP

=

AB

=

OB

-

OA

∵

OP

=m

OA

+

OB

，∴m=-1；
（2）m=2，

OP

=2

OA

+

OB

    
∵單位圓O上的兩點A，B及單位圓所在平面上的一點P，
∴1＜|

OP

|＜3；
（3）因為

OA

•

OB

=-

1

3

，所以cos∠BOA=-

1

3

  
所以cos∠BAO=cos∠ABO=

6

3

 
所以

OP

•

OA

=m-

1

3

所以①當∠OPB=90°時，∠POA=90°，所以

OD

•

OA

=0；
②當∠POB=90°時，因為cos∠BAO=cos∠ABO=

6

3

，所以tan∠OBA=

2

2

所以OD=

2

2

又因為cos∠BOA=-

1

3

，∠BOA-∠DOA=90°，所以cos∠DOA=

2 2

3

所以

OD

•

OA

=

2

3

．

點評：本題考查向量的運算，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．