Question

（2008•楊浦區二模）設函數F（x）=

f(x) ，f(x)≥g(x) g(x) ，f(x)＜g(x)

，其中f（x）=log₂（x²+1），g（x）=log₂（|x|+7）．
（1）在實數集R上用分段函數形式寫出函數F（x）的解析式；
（2）求函數F（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）令log₂（x²+1）≥log₂（|x|+7），解得：x的取值范圍，再結合F（x）的意義用分段函數形式寫出函數F（x）的解析式即可；
（2）先分情況討論函數的單調性：當x≥3或x≤-3時；當-3＜x＜3，分別求出F（x）的最小值，最后綜合得出x∈R時，F（x）_min=log₂7．
或利用F（x）的奇偶性，只需要考慮x≥0的情形，只須分兩種情形討論：當0≤x＜3，當x≥3時，分別求得F（x）的最小值即得．

解答：解：（1）F（x）=

log2(x2+1) ，log2(x2+1) ≥log2(|x|+7) log2(|x|+7) ，log2(x2+1) ＜log2(|x|+7)

，（1分）
令log₂（x²+1）≥log₂（|x|+7），得x²-|x|-6≥0，（3分）
解得：x≤-3或x≥3，（5分）∴F（x）=

log2(x2+1)，x≥3或x≤-3 log2(|x|+7)，-3＜x＜3

．（8分）
（寫出F(x)=

log2(x2+1)，x2+1≥|x|+7 log2(|x|+7)，x2+1＜|x|+7

4分）
（2）當x≥3或x≤-3時，F（x）=log₂（x²+1），設u=x²+1≥10，y=log₂u在[10，+∞）上遞增，所以F（x）_min=log₂10（10分）；（說明：設元及單調性省略不扣分）
同理，當-3＜x＜3，F（x）_min=log₂7；（12分）
又log₂7＜log₂10∴x∈R時，F（x）_min=log₂7．（14分）
或解：因為F（x）是偶函數，所以只需要考慮x≥0的情形，（9分）
當0≤x＜3，F（x）=log₂（x²+7），當x=0時，F（x）_min=log₂7；（11分）
當x≥3時，F（x）=log₂（x²+1），當x=3時，F（x）_min=log₂10；（12分）∴x∈R時，F（x）_min=log₂7．（14分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數解析式的求解及常用方法、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．