Question

已知數列{a_n}前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n，b_n；
（2）設數列{b_n}前n項和為B_n，試比較

1

B1B2

+

1

B2B3

+…+

1

BnBn+1

與1的大小，并證明你的結論；
（3）設Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…

bn

an

，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件得出數列的通項和前n項和之間的等式關系，再結合二者間的基本關系，得出數列{a_n}的通項公式，根據{b_n}的相鄰兩項滿足的關系得出遞推關系，進一步求出其通項公式；
（2）利用放縮法轉化各項是解決該問題的關鍵，將所求的各項放縮轉化為能求和的一個數列的各項估計其和，進而達到比較大小的目的；
（3）利用錯位相減法進行求解T_n是解決本題的關鍵，然后對相應的和式進行估計加以解決．

解答：解：（1）由題意可得2a_n=s_n⁺2，

3

22

當n=1時，a₁=2，
當n≥2時，有2a_n-1=s_n-1⁺2，兩式相減，整理得a_n=2a_n-1，
即數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，故a_n=2ⁿ．
點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上得出b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，
即數列{b_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，
因此b_n=2n-1．
（2）B_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
∴

1

B1B2

+

1

B2B3

+…+

1

BnBn+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1．
（3）T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
兩式相減得，

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n

-

2n-1

2n+1

＜

3

2

，
∴T_n＜3．

點評：本題考查等差數列，等比數列的判定問題，考查根據數列的遞推關系得出數列通項公式的方法，考查數列的通項與前n項和之間的關系，考查數列求和的思想和方法，考查放縮法估計不等式的有關問題，考查學生分析問題解決問題的能力和意識