Question

過點P（1，0）作曲線C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切線，切點為M₁，設M₁在x軸上的投影是點P₁；又過點P₁作曲線C的切線，切點為M₂，設M₂在x軸上的投影是點P₂；…；依此下去，得到一系列點M₁，M₂，…M_n，…；設它們的橫坐標a₁，a₂，…，
a_n…構成數列為{a_n}．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（ II）求證：；
（ III）當k=2時，令，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）對y=x^k求導數，
得y′=kx^k-1，
點是M_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．…（2分）
當n=1時，切線過點P（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得；
當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得．
所以數列{a_n}是首項，公比為的等比數列，
所以數列{a_n}的通項公式為．…（4分）
（ II）應用二項式定理，得．…（8分）
（ III）當k=2時，a_n=2ⁿ，
數列{b_n}的前n項和S_n=，
同乘以，得=，
兩式相減，…（10分）
得=，
所以S_n=．…（12分）
分析：（Ⅰ）對y=x^k求導數，得y′=kx^k-1，切點是M_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．當n=1時，；當n＞1時，得．由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（ II）應用二項式定理，得．
（ III）當k=2時，a_n=2ⁿ，數列{b_n}的前n項和S_n=，利用錯位相減法能夠得到S_n=．
點評：本題考查數列的通項公式的求法，證明，求數列的前n項和．對數學思維的要求比較高，要認真審題，注意錯位相減法的靈活運用，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．