Question

【題目】

已知， ，函數.

（Ⅰ）當， 時，解關于的不等式；

（Ⅱ）若函數的最大值為2，求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得.零點分段求解不等式可得不等式的解集為；

(Ⅱ)由絕對值三角不等式可得，則.由均值不等式的結論可得，當且僅當時，等號成立.

證法二：由題意可得，零點分段可得，結合函數圖像可得.由題意結合均值不等式的結論即可證得題中的結論.

試題解析：

（Ⅰ）當時， .

不等式為.

①當時，因為不等式為，所以不等式成立，

此時符合；符合要求的不等式的解集為；

②當時，因為不等式為，所以，

此時，符合不等式的解集為；

③當時，因為不等式為不成立，解集為空集；

綜上所述，不等式的解集為.

（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得

， ，

∴.

∴，

當且僅當時，等號成立.

另解：（Ⅱ）因為， ，所以，

所以函數

，

所以函數的圖象是左右兩條平行于軸的射線和中間連結成的線段，

所以函數的最大值等于，所以.

∵，

∴.

或者 ，

當且僅當，即時，“等號”成立.