Question

（本題滿分12分）

已知函數

   （1）若函數存在單調遞減區間，求a的取值范圍；

   （2）當a>0時，試討論這兩個函數圖象的交點個數．

Answer 1

（1）a>1

（2）有且僅有兩個交點

解析:

（1）

若使存在單調遞減區間，則上有解．……1分

而當

問題轉化為上有解，故a大于函數上的最小值．

                                                                                           ………………3分

又上的最小值為-1，所以a>1．……4分

   （2）令

函數的交點個數即為函數的零點的個數．……5分

令解得

隨著x的變化，的變化情況如下表：

	-	0	+
	單調遞減	極（最）小值2+lna	單調遞增

                     …………7分

①當恒大于0，函數無零點．……8分

②當由上表，函數有且僅有一個零點．

                            ……9分

③顯然

內單調遞減，

所以內有且僅有一個零點                 …………10分

當

由指數函數與冪函數增長速度的快慢，知存在

使得

從而

因而

又內單調遞增，上的圖象是連續不斷的曲線，

所以內有且僅有一個零點．   …………11分

因此，有且僅有兩個零點．

綜上，的圖象無交點；當的圖象有且僅有一個交點；的圖像有且僅有兩個交點．……12分