Question

【題目】已知函數f（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x），g（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）．
（1）判斷函數f（x）奇偶性并證明；
（2）判斷函數f（x）單調性并用單調性定義證明；
（3）求函數g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得 ，即﹣1＜x＜1，即函數的定義域為（﹣1，1），關于原點對稱

f（﹣x）=﹣f（x）∴f（x）為（﹣1，1）上的奇函數

（2）解：設﹣1＜x1＜x2＜1，

則 = ，

又﹣1＜x1＜x2＜1∴（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）=2（x1﹣x2）＜0

即0＜（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），

∴ ，

∴ ，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（﹣1，1）上單調遞增

（3）解：由 得 ，即﹣1＜x＜1，即函數的定義域為（﹣1，1），

則g（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）=g（x）=log2[（1+x）（1﹣x）]=log2（1﹣x2）≤log21=0，

即g（x）的值域為（﹣∞，0]

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數f（x）奇偶性并證明；（2）根據函數單調性的定義即可判斷函數f（x）單調性并用單調性定義證明；（3）根據函數奇偶性和單調性的關系即可求函數g（x）的值域．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．