Question

（本小題滿分12分）已知向量
（Ⅰ）求向量的長度的最大值；
（Ⅱ）設，且，求的值.

Answer 1

（1）的長度的最大值為2. （2）

本試題主要是考查了向量的數量積公式的運用，以及兩角和差的三角恒等變形，解決三角方程的綜合問題。
（1）用坐標關系式表示出向量的模的平方就是向量的平方，借助于向量的數量積得到關于模的長度表示，結合三角函數的張有界性得到最值。
（2）利用向量的垂直關系式，得到數量積為零，那么可知，結合方程的知識得到其解。
（1）解法1：則

，即
當時，有所以向量的長度的最大值為2.
解法2：，，
當時，有，即，
的長度的最大值為2.
（2）解法1：由已知可得
。
，，即。
由，得，即。
,于是。
解法2：若，則，又由，得

，，即
，平方后化簡得  
解得或，經檢驗，即為所求