Question

拋物線有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反象后，沿平行于拋物線對稱軸的肖向射出，反之亦然．如圖所示，今有拋物線C，其頂點是坐標原點，對稱輔為x軸．開口向右．一光源在點M處，由其發出一條平行于x軸的光線射向拋物線C卜的點P（4.4），經拋物線C反射后，反射光線經過焦點F后射向拋物線C上的點Q，再經拋物線C反射后又沿平行于X軸的方向射出，途中經直線l：2x-4y-17=0上點N反射后又射回點M．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求PQ的長度；
（3）判斷四邊形MPQN是否為平行四邊形，若是請給出證明，若不是請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線方程為y²=2px，將P （4，4）代入可得拋物線方程；
（2）確定直線PF方程，代入拋物線方程，求出Q的坐標，即可求PQ的長度；
（3）求出M的坐標，證明MN的斜率與PQ的斜率相等，即可得到結論．

解答：解：（1）設拋物線方程為y²=2px，將P （4，4）代入可得p=2，故拋物線方程為y²=4x，…（4分）
（2）由y²=4x可得F（1，0），則直線PF方程為：y=

4

3

（x-1）
即x=

3y+4

4

代入y²=4x，得y²=3y+4解得y=4或-1，
故Q的縱坐標為-l，可得Q（

1

4

，-1），故|PQ|=

25

4

…（5分）
（3）四邊形MPQN是平行四邊形                 …（1分）
下面證明：先求出M的坐標，M的縱坐標為4，故設M（x₀，4），
由光線性質知M關于直線的對稱點M₁在直線QN上，故M₁（x₁，-1），
則MM₁中點（

x0+x1

2

，

3

2

）在直線上，且MM斜率為-2，得x₀+x₁-6-17=0，

4-(-1)

x0- x   1

=-2，
解得：M（

41

4

，4），
所以N（

13

2

，-1）
所以MN的斜率為

4-(-1)

41 4 - 13 2

=

5

15 4

=

4

3

，與PQ斜率相等，
故MN∥PQ，又MP∥QN，故四邊形MPQN是平行四邊形．…（4分）

點評：本題考查拋物線方程，考查兩點間的距離公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．