Question

（2010•朝陽區二模）已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁（-2，0），F₂（2，0）．在橢圓M中有一內接三角形ABC，其頂點C的坐標(

3

，1)，AB所在直線的斜率為

3

3

．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）當△ABC的面積最大時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的定義知2a=

(-2- 3 )2+1

+

(2- 3 )2+1

．解出a的值，再由b²=a²-c²解出b的值即可得出橢圓的方程；
（II）由題意可直線AB的方程為y=

3

3

x+m，再由弦長公式用引入的參數m表示出弦長AB，再用m表示出點C到直線AB的距離，由三角形的面積公式將三角形的面積表示成m的函數，由基本不等式判斷出面積最大時的m的值，即可求得直線AB的方程

解答：解：（Ⅰ）由橢圓的定義知2a=

(-2- 3 )2+1

+

(2- 3 )2+1

．
解得 a²=6，所以b²=a²-c²=2．
所以橢圓M的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）由題意設直線AB的方程為y=

3

3

x+m，
由

x2 6 + y2 2 =1 y= 3 3 x+m

得2x2+2

3

mx+3m2-6=0．
因為直線AB與橢圓M交于不同的兩點A，B，且點C不在直線AB上，
所以

△=12m2-24(m2-2)＞0 1≠ 3 3 • 3 +m

解得-2＜m＜2，且m≠0．
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=-

3

m，x1x2=

3m2-6

2

，y1=

3

3

x1+m，y2=

3

3

x2+m．
所以|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

4 3 [(x1+x2)2-4x1x2]

=2

4-m2

．
點C(

3

，1)到直線y=

3

3

x+m的距離d=

3 |m|

2

．
于是△ABC的面積S=

1

2

|AB|•d=

3

2

|m|•

4-m2

≤

3

2

•

m2+(4-m2)

2

=

3

，
當且僅當|m|=

4-m2

，即m=±

2

時“=”成立．
所以m=±

2

時△ABC的面積最大，此時直線AB的方程為y=

3

3

x±

2

．
即為x-

3

y±

6

=0．…（13分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了弦長的求法，三角形的面積公式，基本不等式求最值，橢圓的定義，橢圓的標準方程的求法，熟練掌握相關的知識與技巧是解題的關鍵，本題考查了數形結合的思想，轉化的思想，對公式的記憶與靈活運用能力，是綜合性較強的題目