Question

已知等差數列{a_n}的前n項的和記為S_n．如果a₄=-12，a₈=-4．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求S_n的最小值及其相應的n的值；
（Ⅲ）從數列{a_n}中依次取出，構成一個新的數列{b_n}，求{b_n}的前n項和．

Answer 1

解：（Ⅰ）設公差為d，由題意，可得，解得，
∴a_n=2n-20…（3分）
（Ⅱ）由數列{a_n}的通項公式a_n=2n-20得：
當n≤9時，a_n＜0，
當n=10時，a_n=0，
當n≥11時，a_n＞0．
∴當n=9或n=10時，S_n取得最小值，又S_n==（n-19）•n
∴S₉=S₁₀=-90…（6分）
（Ⅲ）記數列{b_n}的前n項和為T_n，由題意可知，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2¹-20）+（2²-20）+（2³-20）+…+（2ⁿ-20）
=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-20n=
=2ⁿ⁺¹-20n-2…（12分）
分析：（Ⅰ）可設等差數列{a_n}的公差為d，由a₄=-12，a₈=-4，可解得其首項與公差，從而可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）得到數列{a_n}的通項公式a_n=2n-20，可由求得n取何值時S_n取得最小值，然后由求和公式可求得答案；
（Ⅲ）根據題意求得，利用分組求和法可求得數列{b_n}的前n項和為T_n．
點評：本題考查等差數列的通項公式，及數列求和公式，本題解答中的亮點在于利用等差數列的通項公式分析S_n的最值，顯然比利用其求和公式，通過二次函數的配方法求最值方便的多．