Question

【題目】已知函數f（x）=x2eax ．
（Ⅰ）當a＜0時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）在（1）條件下，求函數f（x）在區間[0，1]上的最大值；
（Ⅲ）設函數g（x）=2ex﹣ ，求證：當a=1，對x∈（0，1），g（x）﹣xf（x）＞2恒成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=eax（ax2+2x），令f'（x）=0可得，x=0或 ． 又a＜0，則可知f（x）在（﹣∞，0）和 上單調遞減；在 上單調遞增．
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，當 ，即﹣2≤a＜0時，f（x）在[0，1]上單調遞增，
則f（x）最大值為f（1）=ea；
當 ，即a＜﹣2時，f（x）在 單調遞增，在 上單調遞減，
則f（x）的最大值為 ．
（Ⅲ）要證g（x）﹣xf（x）＞2，即證 ，
令h（x）=（2﹣x3）ex ， 則h'（x）=（﹣x3﹣3x2+2）ex=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2），
又x∈（0，1），可知在x∈（0，1）內存在極大值點，又h（0）=2，h（1）=e，
則h（x）在x∈（0，1）上恒大于2，（11分）
而 在x∈（0，1）上恒小于2，因此g（x）﹣xf（x）＞2在x∈（0，1）上恒成立
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，根據a的符號，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）通過討論a的范圍，得到函數的單調區間，求出函數的最值即可；（Ⅲ）問題轉化為證明 ，令h（x）=（2﹣x3）ex ， 求出函數的導數，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．