Question

設函數f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當0＜a＜2時，求函數g（x）=f（x）-x²-ax-1在區間[0，3]的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先求出函數的導數，然后令f′（x）=0，解出函數的極值點，最后根據導數判斷函數的單調性，從而求函數f（x）的單調區間．
（Ⅱ）因為函數g（x）=f（x）-x²-ax-1，求出g（x）的導數，求出函數的單調區間，然后只需討論與3的大小，從而分類討論求出函數g（x）=f（x）-x²-ax-1在區間[0，3]的最小值．
解答：本小題滿分（14分）
解：（Ⅰ）∵（2分）
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0；由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
又∵f（x）定義域為（-1，+∞），
∴所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間為（-1，0）（5分）
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-x²-ax-1
即g（x）=2x-ax-2ln（1+x），（7分）
令g'（x）=0由0＜a＜2及x＞-1，得
且當時f（x）取得極小值．（8分）
∵求f（x）在區間[0，3]上最小值
∴只需討論與3的大小
①當時＜3
所以函數g（x）在[0，3]上最小值為（10分）
②當時=3
所以函數g（x）在[0，3]上最小值為（11分）
③當時＞3
所以函數g（x）在[0，3]上最小值為g（3）=（13分）
所以，綜上可知當時，函數g（x）在[0，3]上最小值為；
當時，函數g（x）在[0，3]上最小值為．（14分）
點評：此題主要考查函數導數與函數單調性之間的關系，掌握并會熟練運用導數判斷函數的單調性，要學會分類討論，難度較大．