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已知橢圓的左、右焦點分別為、，P為橢圓 上任意一點，且的最小值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）動圓與橢圓相交于A、B、C、D四點，當為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

 

【答案】

（1）；（2）當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

【解析】

試題分析：（1）由于（定值）這個條件并結合余弦定理以及的最小值為這個條件可以求出的值，并由已知條件中的值可以求出，并最終求出橢圓的方程；（2）先設出、、、中其中一個點的坐標，然后根據這四點之間的相互對稱性將四邊形的面積用該點的坐標進行表示，結合這一條件將面積轉化為其中一個變量的二次函數，利用二次函數的求最值的思想求出四邊形面積的最大值，并可以求出對應的值.

試題解析：（1）因為P是橢圓上一點，所以.

在△中，，由余弦定理得

.

因為，當且僅當時等號成立.

因為，所以.

因為的最小值為，所以，解得.

又，所以.所以橢圓C的方程為.

（2）設，則矩形ABCD的面積.

因為，所以.

所以.

因為且，所以當時，取得最大值24.

此時，.

所以當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

考點：橢圓的定義、余弦定理、二次函數

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，橢圓的離心率為
1
2
且經過點P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為，其右準線上上存在點（點在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，求的內切圓的方程．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期假期檢測考試理科數學試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，， 點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點（）．

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年福建省三明市高三上學期三校聯考數學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年云南省德宏州高三高考復習數學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，右準線方程為．

（I）求橢圓的標準方程；

（II）過點的直線與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線的方程．

 

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