Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）若和在有相同的單調區間，求的取值范圍；

（Ⅱ）令（），若在定義域內有兩個不同的極值點．

（i）求的取值范圍；

（ii）設兩個極值點分別為， ，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）詳見解析

【解析】【試題分析】（1）借助題設條件，運用導數與函數的單調性之間的關系分析求解；（2）先依據題設條件將問題進行等價轉化，再運用導數知識分析求解：

（Ⅰ）．函數的定義域為， ，

當時， ；當時， .

所以在上單調遞減，在上單調遞增．　

若在上單調遞減，在上單調遞增，

則．

（Ⅱ）（i）依題意，函數的定義域為， ，

所以方程在有兩個不同根．

即方程在有兩個不同根，

轉化為，函數與函數的圖象在有兩個不同交點，如圖．　

可見，若令過原點且切于函數圖象的直線斜率為，

只需.

令切點，所以，又，所以，

解得，于是，所以.

（ii）由（i）可知， 分別是方程的兩個根，

即， ，不妨設，作差得，即，

原不等式等價于，即，即，

令，則， ，即，

設， ， ，

∴函數在上單調遞增，∴，即不等式成立，

故所證不等式成立．