Question

已知圓C：x²+y²-8y+12=0，直線l過定點P（-2，0）．
（1）若直線l與圓C相切，試求直線l的方程；(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|

AB

|=2

2

時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程化為標準形式，求得圓心為（0，4），半徑為2．分直線l的斜率不存在和斜率存在兩種情況，分別求得圓的切線方程．
（2）設所求的直線方程為y=k（x+2），則由弦長公式可得弦心距d=

4-2

=

2

，即

|2k-4|

k2+1

=

2

，求得k的值，即可求得圓的切線方程．

解答：解：（1）將圓的方程配方得：x²+（y-4）²=4，則此圓的圓心為（0，4），半徑為2．
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為 x=-2，經過檢驗，此直線和圓相切．
當直線的斜率存在時，設直線方程為y=k（x+2），由直線和圓相切的性質可得，圓心到直線的距離等于半徑，
即

|2k-4|

k2+1

=2，解得k=

3

4

，故所求的切線方程為 y=

3

4

x+

3

2

．
綜上，所求的圓的切線方程為x=-2，或 y=

3

4

x+

3

2

．
（2）設所求的直線方程為y=k（x+2），則由弦長公式可得弦心距d=

4-2

=

2

，即

|2k-4|

k2+1

=

2

，
解得k=1，或 k=7．
故所求的切線方程為 y=x+2，或y=7（x+2），
即 x-y+2=0，或 7x-y+14=0．

點評：本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．