Question

已知橢圓：的面積為π，包含于平面區域內，向平面區域內隨機投一點Q，點Q落在橢圓內的概率為．

（Ⅰ）試求橢圓的方程；

（Ⅱ）若斜率為的直線與橢圓交于、兩點，點為橢圓上一點，

記直線的斜率為，直線的斜率為，試問：是否為定值？請證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）  為定值0

解析:

  （Ⅰ）平面區域是一個矩形區域，如圖所示．      ………2分     

依題意及幾何概型，可得，       ……………………3分

即 ．　　因為　，

所以，　．     

                                         ………………5分

所以，橢圓的方程為    ……6分

（Ⅱ）設直線的方程為：，

聯立直線的方程與橢圓方程得：

 

（1）代入（2）得：

化簡得：………（3）                    ……………8分

當時，即，

也即，時，直線與橢圓有兩交點，

由韋達定理得：，                           ………………10分

所以，，

則

                         ……………13分

所以，為定值。                                     ……………14分