Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.

（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）設PC與平面ABCD所成的角的正弦為，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）連結BD交AC于點O，連結EO，推導出EO∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．

(2)根據題意可得即為設PC與平面ABCD所成的角故,可得

根據勾股定理可得 ，，由此可求

三棱錐E-ACD的體積

(1)連接BD交AC于點F，連接EF

則在三角形BDP中，點E是PD的中點，點F是BD的中點，即線段EF是的中位線

所以PB‖EF，又因為PB平面AEC，EF平面AEC，所以PB‖平面AEC

(2)根據題意可得即為設PC與平面ABCD所成的角，故,可得

根據勾股定理可得，所以 ，三棱錐E-ACD的高為，所以