Question

【題目】已知雙曲線M： =1（a＞0，b＞0）的上焦點為F，上頂點為A，B為虛軸的端點，離心率e= ，且S△ABF=1﹣ ．拋物線N的頂點在坐標原點，焦點為F．
（1）求雙曲線M和拋物線N的方程；
（2）設動直線l與拋物線N相切于點P，與拋物線的準線相交于點Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點？如果經過，試求出該點的坐標，如果不經過，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由雙曲線M： =1（a＞0，b＞0）的離心率e= = ，①

三角形的面積S= （c﹣a）b=1﹣ ，②

由c2=a2+b2，③

解得：a= ，b=1，c=2，

∴雙曲線的標準方程： ，則雙曲線的上焦點F（0，2），

則拋物線N的方程：x2=8y；

（2）

解：由（1）可得拋物線N的方程：x2=8y，準線方程y=﹣2，

由y= x2，y′= x，設P（x0， x02），則直線l的方程y﹣ x02= x0（x﹣x0），

即y= x0x﹣ x02，聯立y=﹣2，則Q（ ，﹣2），

假設存在定點M（0，m）滿足假設條件，則 =0，對任意點恒成立，

則 =（x0， x02﹣m）， =（ ，﹣2﹣m），

∴ ﹣（m+2）（ x02﹣m）=0，即 x02+m（m+2）﹣8=0，對任意實數x0（x0≠0）恒成立，

，解得：m=2，

∴以PQ為直徑的圓經過y軸上的定點M（0，2）．

【解析】（1）根據雙曲線的離心率公式及三角形的面積公式，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線的方程，求得焦點坐標，即可求得p的值，求得拋物線N的方程；（2）利用導數求得切線方程，聯立y=﹣2，即可求得Q點坐標，根據向量數量積的坐標，由 x02+m（m+2）﹣8=0，對任意實數x0（x0≠0）恒成立，即可求得m的值，即可求得以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點．