Question

已知等差數列a_n中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數列a_n的通項公式；
（2）設由（c≠0）構成的新數列為b_n，求證：當且僅當時，數列b_n是等差數列；
（3）對于（2）中的等差數列b_n，設（n∈N^*），數列c_n的前n項和為T_n，現有數列f（n），（n∈N^*），
求證：存在整數M，使f（n）≤M對一切n∈N^*都成立，并求出M的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，由等差數列的性質，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，與a₂•a₃=45聯立，計算可得數列{a_n}的通項公式；
（2）首先計算Sn，代入數列 ，可得其通項公式，運用等差中項的性質分析，可得答案．
（3）根據題意，對于存在性問題，可先假設存在，即存在整數M，使f（n）≤M對一切n∈N^*都成立，再將數列{a_n}的通項公式代入b_n可得b_n的通項公式，進而運算消項求和法，求出M的最小值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）∵等差數列a_n中，公差d＞0，
∴（4分）
（2），=，（6分）
由2b₂=b₁+b₃得，化簡得2c²+c=0，c≠0，∴（8分）
反之，令，即得b_n=2n，顯然數列b_n為等差數列，
∴當且僅當時，數列b_n為等差數列．（10分）
（3）∵
∴（12分）
∵，而n≥2時
∴f（n）在n≥2時為單調遞減數列，此時f（n）_max=f（2）=2（14分）
∴存在不小于2的整數，使f（n）≤2對一切n∈N^*都成立，M_min=2（16分）
點評：本題考查等差數列的通項公式的運用，注意結合等差數列的性質分析，可以減少運算量，降低難度．