Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，過直線左側的動點作于點的角平分線交軸于點，且，記動點的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點作直線交曲線于兩點，點在上，且軸，試問：直線是否恒過定點？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是.

【解析】

（1）設，由題意可得：，可得==，即，化簡整理即可得出；（2）由題意可得：直線的斜率不為0，可設直線的方程為：，設，，與橢圓方程聯立化為：，直線的斜率，方程為：，結合根與系數的關系化簡整理即可得出．

（1）設P（x，y），由題意可得：|MF|=|PF|，∴==．

即=，化為：+y2=1．

（2）由題意可得：直線m的斜率不為0，可設直線m的方程為：．

設，．

聯立，化為：，成立．

∴，，．

∴直線AC的斜率，方程為：．

即： ．

又===．

∴y=，即y=．

∴直線恒過定點．