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一種酒杯的形狀可由拋物線x2=2py（p＞0）繞y軸旋轉而成，將長為l的玻璃棒（質地均勻）隨意地放人酒杯內（杯壁足夠高，能沒入玻璃棒），試確定玻璃棒的平衡位置．
分析：確定平衡位置，即求玻璃棒中點M到x軸距離的最小值，可利用拋物線的定義進行簡單求解．
解答：解：當AB=l≥2p時，AB可以經過焦點F（0，
p
2
），
如圖所示，BB′=BF，AA′=AF，
∴l=AB≤AF+BF=AA′+BB′=2MM′=2（d+
p
2
）
∴dmin=
l-p
2
（d表示點M到x軸的距離）
當AB=l＜2p，即AB平行于x軸時，點M到x軸的最小距離為dmin=
l2
8p
點評：本題考查拋物線的定義，考查學生分析和解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數解析式是y=
x22
（0≤y≤20），在杯內放一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源：設計選修數學－1-1蘇教版 蘇教版 題型：044

小明家中有兩種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯(如圖1)，另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4 cm，杯深為8 cm(如圖2)，稱之為拋物線酒杯．

(1)請選擇適當的坐標系，求出拋物線酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戲中注意到一個現象，若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，則任何玻璃球能觸及酒杯杯底．但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中，則有些小玻璃不能觸及酒杯杯底．小明想用所學過數學知識研究一下，當玻璃球的半徑r為多大值時，玻璃球一定會觸及酒杯杯底部．你能幫助小明解決這個問題嗎？

(3)在拋物線酒杯中，放入一根粗細均勻，長度為2 cm的細棒，假設細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計，那么當細棒最后達到平衡狀態時，細棒在酒杯中位置如何？

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科目：高中數學 來源：選修設計數學1－1北師大版 北師大版 題型：044

小明家中有兩種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯(如圖(1))，另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4 cm，杯深為8 cm(如圖(2))，稱之為拋物線酒杯．

(1)請選擇適當的坐標系，求出拋物線酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戲中注意到一個現象，若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，則任何玻璃球能觸及酒杯杯底．但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中，則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底．小明想用所學過的數學知識研究一下，當玻璃球的半徑r為多大值時，玻璃球一定會觸及酒杯杯底部．你能幫助小明解決這個問題嗎？

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科目：高中數學 來源： 題型：

小明家中有兩種酒杯,一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形,稱之為直角酒杯,另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線,杯口寬4 cm,杯深為8 cm,稱之為拋物線酒杯.

(1)請選擇適當的坐標系,求出拋物線酒杯的方程.

(2)一次,小明在游戲中注意到一個現象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球都不能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底.小明想用所學數學知識研究一下,當玻璃球的半徑r為多大值時,玻璃球一定會觸及酒杯杯底.你能幫助小明解決這個問題嗎?

(3)在拋物線酒杯中,放入一根粗細均勻、長度為2 cm的細棒,假設細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計,那么當細棒最后達到平衡狀態時,細棒在酒杯中位置如何?

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