Question

【題目】已知函數f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）當a＞1時，求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）若函數y=|f（x）﹣t|﹣1有三個零點，求t的值；
（Ⅲ）若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，
由于a＞1，故當x∈（0，+∞）時，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f′（x）＞0，
故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）當a＞0，a≠1時，因為f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
故f′（x）=0有唯一解x=0．
所以x，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

又函數y=|f（x）﹣t|﹣1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，
即y=f（x）的圖象與兩條平行于x軸的兩條直線y=t±1共有三個交點．
不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，極小值f（0）=1也是最小值，
當x→±∞時，f（x）→+∞．
∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有兩個根，f（x）=t﹣1只有一個根．
∴t﹣1=fmin（x）=f（0）=1，∴t=2．
（Ⅲ）因為存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，
所以當x∈[﹣1，1]時，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，
由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
所以當x∈[﹣1，1]時，（f（x））min=f（0）=1，
（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，
而 ，
記 ，因為 （當t=1時取等號），
所以 在t∈（0，+∞）上單調遞增，而g（1）=0，
所以當t＞1時，g（t）＞0；當0＜t＜1時，g（t）＜0，
也就是當a＞1時，f（1）＞f（﹣1），當0＜a＜1時，f（1）＜f（﹣1）．
綜合可得，①當a＞1時，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a≥e．
②當0＜a＜1時，由 ，
綜上知，所求a的取值范圍為（0， ]∪[e，+∞）
【解析】（Ⅰ）證明a＞1時函數的導數大于0．（Ⅱ）先判斷函數f（x）的極小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，根據t﹣1應是f（x）的極小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．