Question

已知函數f(x)=

kx+k(1-a2)                      (x≥0) x2+(a2-4a)x+(3-a)2       (x＜0)

，其中a∈R，若對任意的非零的實數x₁，存在唯一的非零的實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則k的最小值為（　�。�

• A．-

  1

  15

• B．5
• C．6
• D．8

Answer 1

分析：由于函數f（x）是分段函數，且對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0時，f（x）=k（1-a²），進而得到，關于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有實數解，即得△≥0，解出k即可．

解答：解：∵函數f(x)=

kx+k(1-a2)                      (x≥0) x2+(a2-4a)x+(3-a)2       (x＜0)

，其中a∈R，
∴x=0時，f（x）=k（1-a²），
又由對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
∴函數必須為連續函數，即在x=0附近的左右兩側函數值相等，
易知，k≤0時，結合圖象可知，不符合題意，
∴k＞0，且（3-a）²=k（1-a²），即（k+1）a²-6a+9-k=0有實數解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8，
又∵k＞0，
∴k的取值范圍為[8，+∞），
故選D．

點評：本題考查了分段函數的性質，同時考查了二次函數的性質，通過圖象比較函數值的大小，數形結合的數學思想方法有助于我們的解題，更形象直觀．屬于中檔題．