如圖，橢圓
的長軸長為
，點
、
、
為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，
過中心
，且
，
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
、
是橢圓上位于直線
同側的兩個動點（異于、），且滿足
，試討論直線
與直線
斜率之間的關系，并求證直線
的斜率為定值.
（1）
；（2）詳見解析.
解析試題分析：（1）利用題中條件先得出
的值，然后利用條件，結合橢圓的對稱性得到點的坐標，然后將點的坐標代入橢圓方程求出
的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件
得到直線與的斜率直線的關系（互為相反數），然后設直線的方程為
，將此直線的方程與橢圓方程聯立，求出點的坐標，注意到直線與的斜率之間的關系得到點的坐標，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.
（1）
，
，
又
是等腰三角形，所以
，
把點代入橢圓方程
，求得
，
所以橢圓方程為；
（2）由題易得直線、斜率均存在，
又，所以
，
設直線
代入橢圓方程，
化簡得
，
其一解為
，另一解為
，
可求
，
用
代入得
，
，
為定值.
考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.兩點間連線的斜率
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
（
）的左、右焦點為
，右頂點為
，上頂點為
．已知
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設
為橢圓上異于其頂點的一點，以線段
為直徑的圓經過點
，經過原點
的直線
與該圓相切，求直線的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左右頂點分別為
，離心率
．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點
為曲線
:
上任一點（點不同于
），直線
與直線
交于點
，
為線段
的中點，試判斷直線
與曲線的位置關系，并證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的離心率為
，過
的左焦點
的直線
被圓
截得的弦長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設的右焦點為
，在圓
上是否存在點
，滿足
，若存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）;若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，
第3小題滿分6分．
已知橢圓
過點
，兩焦點為
、
，
是坐標原點，不經過原點的直線
與橢圓交于兩不同點
、
.
(1)求橢圓C的方程；
(2) 當
時，求
面積的最大值；
(3) 若直線
、
、
的斜率依次成等比數列，求直線
的斜率
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率
，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應的圓Q的標準方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2013•湖北）如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標原點O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m，2n（m＞n），過原點且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D，記
，△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2．
（1）當直線l與y軸重合時，若S1=λS2，求λ的值；
（2）當λ變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1=λS2？并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點的橢圓C: 
的一個焦點為
為橢圓C上一點，△MOF2的面積為
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OM的直線l，使得l與橢圓C相交于A、B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.
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過點（0，4），離心率為
的直線被C所截線段的中點坐標．