Question

若n∈N^*，且n為奇數，則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1被8除所得的余數是

1. A.
   0
2. B.
   2
3. C.
   5
4. D.
   7

Answer 1

C
分析：法一：根據題意，由二項式定理，可以將6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1變形為C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-2，又由n為奇數，則可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-3，分析可得答案；
法二，用特殊制法，根據題意，n∈N^*，且n為奇數，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=6-1=5，分析可得答案．
解答：法一：根據題意，6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1
=6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6+C_nⁿ-2
=（6+1）ⁿ-2=7ⁿ-2=（8-1）ⁿ-2
=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-2
又由n為奇數，則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-3，
且C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8可以被8整除，
則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1被8除所得的余數是5；
法二，根據題意，n∈N^*，且n為奇數，
在6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1中，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=6-1=5，
被8除，所得的余數為5，
故選C，
點評：本題考查二項式定理的應用，關鍵是根據二項式定理，靈活將6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1變形，對于選擇題，法二是簡便易行的方法．