Question

【題目】如圖所示，在多面體中， 與均為邊長為2的正方形， 為等腰直角三角形， ，且平面平面，平面平面.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由線面垂直可得，由為等腰直角三角形可得，從而平面，進而可得平面平面；（Ⅱ）以為原點，以， ， 分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面與平面的的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果

試題解析：（Ⅰ） 平面平面，且，

平面.

平面， .

又為等腰直角三角形， ， .

， 平面.

又平面， 平面平面.

（Ⅱ）平面平面， ，

平面，

， .

又， 以為原點，以， ， 分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則由題意，知， ， ， ， ，

， ， ， .

設為平面的一個法向量，則

由得取，則.

設為平面的一個法向量，則

由得取，則，

.

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的性質、面面垂直的判定，利用空間向量二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.